mathematic: กันยายน 2013

เซต

เซต เป็นคำที่ใช้บ่งบอกถึงกลุ่มของสิ่งต่างๆ และเมื่อกล่าวถึงกลุ่มใดแน่นอนว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่ม สิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่ม เช่น

เซตสระในภาษาอังกฤษ หมายถึง กลุ่มของอังกฤษ a, e, i, o และ u

เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 10 หมายถึง กลุ่มตัวเลข 1,2,3,4,5,6,7,8,และ9

สิ่งที่อยู่ในเซตเรียกว่า สมาชิก ( element หรือ members )

การเขียนเซต

การเขียนเซตอาจเขียนได้ 2 แบบ

1. การเขียนซตแบบแจกแจงสมาชิก เขียนสมาชิกทุกตัวลงในเครื่องหมายวงเล็บปีก กา { } และใช้เครื่องหมายจุลภาค ( , ) คั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัว เช่น

เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 7 เขียนแทนด้วย {1,2,3,4,5,6,}

เซตของพยัญชนะไทย 5 ตัวแรก เขียนแทนด้วย { ก,ข,ฃ,ค,ฅ }

2.เขียนแบบบอกเงื่อนไข ใช้ตัวแปรเขียนแทนสมาชิกของเซต แล้วบรรยายสมบัติของสมาชิกที่อยู่รูปของตัวแปร เช่น

{x| x เป็นสระในภาษาอังกฤษ } อ่านว่า เซตของ x โดยที่ x เป็นสระในภาษาอังกฤษ

{x| x เป็นเดือนแรกและเดือนสุดท้ายของปี } อ่านว่า เซตของ xโดยที่ x เป็นเดือนแรกและเดือนสุดท้ายของปี เครื่องหมาย “ | ” แทนคำว่า โดยที่

ในการเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกนั้นจะใช้จุด ( ... ) เพื่อแสดงว่ามีสมาชิกอื่นๆ ซึ่งเป็นที่เข้าใจกันทั่วไปว่ามีอะไรบ้างที่อยู่ในเซต เช่น

{ 1,2,3,...,10 } สัญลักษณ์ ... แสดงว่ามี 4,5,6,7,8 และ9 เป็นสมาชิกของเซต

{ วันจันทร์, อังคาร, พุธ,..., อาทิตย์ } สัญลักษณ์ ... แสดงว่ามีวันพฤหัสบดี วันศุกร์ และวันเสาร์ เป็นสมาชิกของเซต

สัญลักษณ์แทน

ในการเขียนเซตโดยที่ทั่วไปจะแทนเซตด้วยอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น A,B,C และแทนสมาชิกของเซตด้วยตัวพิมพ์เล็ก เช่น a,b,c

เช่น A = {1,4,9,16,25,36} หมายถึง A เป็นเซตของกำลังสองของจำนวนนับหกจำนวนแรก }

สมาชิกของเซต

จะใช้สัญลักษณ์ “ € ” แทนคำว่าเป็นสมาชิกหรืออยู่ใน เช่น

A = {1,2,3,4}

จะได้ว่า 1 เป็นสมาชิกของ A หรืออยู่ใน A เขียนแทนด้วย 1 €A

3 เป็นสมาชิกของ A หรืออยู่ใน A เขียนแทนด้วย 3€ A

คำว่า “ไม่เป็นสมาชิก” หรือ “ไม่อยู่ใน” เขียนด้วยสัญลักษณ์ “ € ” เช่น

5 ไม่เป็นสมาชิกของ A หรือไม่อยู่ใน A เขียนแทน 5€A

7 ไม่เป็นสมชิกชอง A หรือไม่อยู่ใน A เขียนแทนด้วย 7€A

สำหรับเซต A ซึ่งมีสมาชิก 4 ตัว เราจะใช้ n(A) เพื่อบอกจำนวนสมาชิกของเซต A นั่นคือ n(A) = 4

ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก

1.เซตของจังหวัดในประเทศไทยที่ลงท้ายด้วยบุรี

2.เซตของจำนวนเมลบ

3.เซตของพยัญชนะในภาษาไทย

วิธีทำ 1.ให้ A เป็นเซตของจังหวัดในประเทศไทยที่ลงท้ายด้วยบุรี

A = { สุพรรณบุรี, ปราจีนบุรี, สิงห์บุรี,..., ลพบุรี }

2. ให้ B เป็นเซตของจำนวนต็มลบ

B = {-1,-2,-3,…}

3. ให้C เป็นเซตของพยัญชนะในภาษาไทย

C = {ก,ข,ค,…,ฮ}

ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบบอกเงื่อนไข

1. A = {2,4,6,8,10}

2. B = {1,3,5,7}

วิธีทำ 1.A = {x| x เป็นจำนวนคู่บวกที่น้อยกว่า 12 }

2.B = {x| x เป็นจำนวนคี่บวกที่น้อยกว่า 9 }

เซตว่าง

คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก สัญลักษณ์ที่ใช้ในเซตว่าง คือ {} หรือ( อ่านว่าไฟ (phi))

ตัวอย่างของเซตว่างได้แก่

A = { x| x เป็นจังหวัดในประเทศไทยที่ขึ้นต้นด้วย “ข”}

เซตจำกัด

คือ เซตซึ่งมีจำนวนสมาชิกต็มบวกหรือศูนย์

ตัวอย่างเซตจำกัด ได้แก่

A = {0,2,4,…,10} , n(A) = 11

B = {x| x เป็นพยัญชนะในคำว่า “เซตว่าง” }, n( A ) = 4

C = {1,2,…,8}

เซตอนันต์

คือ เซตที่มีจำนวนมากมาย นับไม่ถ้วน

ตัวอย่างเซตอนันต์ ได้แก่

A = {x| x เป็นจำนวนเฉพาะที่มากกว่า 5 }

B = {x| x 3,7,11,15,…}

C = {1,2,3,…}

ข้อตกลงเกี่ยวกับเซต

1. เซตว่างเป็นเซตจำกัด

2. การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกเขียนสมาชิกแต่ละตัวเพียงครั้งเดียวเท่านั้น

เช่น เซตของเลขโดดที่อยู่ในจำนวน 232 คือ {2,3}

3. เซตของจำนวนที่มักจะกล่าวถึงเสมอและใช้กันทั่วไป มีดังนี้

I เป็นเซตของจำนวนเต็ม หรือ I = {…,-2,-1,0,1,2,...

I เป็นเซตของจำนวนต็มบวก หรือ I = {1,2,3,…}

I เป็นเซตของจำนวนต็มลบ หรือ I = {-1,-2,-3,…}

N เป็นเซตของจำนวนนับ หรือ N = {1, 2, 3,…}

P เป็นเชตของจำนวนเฉพาะ หรื P = { 2, 3 , 5 , 7,…}

เซตที่เท่ากัน

เซต A = B หมายถึง สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิก ของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A เท่ากับเซต B เขียนแทนด้วย A = B

และเซตA ไม่เท่ากับเซต B หมายความว่า มีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต A ที่ไม่ใช้สมาชิกของเซต B หรือมีสมาชิกอย่างน้อยของเซต B ที่ไม่ใช่สมาชิกของเซต A เขียนแทนด้วย AB

ตัวอย่างที่ 1 A = {0,1,2 } และ B = {2,0,1}

ดั้งนั้น เซต A เท่ากันกับเซต B เขียนแทนด้วย A = B

ตัวอย่างที่ 2 กำหนด A= {1,1,2,4,5,6} , B ={2,1,2,4,5,6}, C = {1,2,4,5,5,6,7,8}

จงหาว่ามีเซตใดบ้างที่เท่ากัน

วิธีทำ A = {1,1,2,4,5,6}, B ={2,1,2,4,5,6}

จะได้ A=B เพราะมีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว

แต่ AC , BC เพราะว่า7 €A และ 7 € B

เอกภพสัมพัทธ์

ในการเขียนเซตบอกเงื่อนไขของสมาชิก จะต้องกำหนดเซตของ เอกภพสัมพัทธ์ เขียนแทนด้วย U โดยมีข้อตกลงว่า เมื่อกล่าวถึงสมาชิกของเซต จะไม่กล่าวถึงสิ่งอื่นนอกเหนือจากสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์

ตัวอย่างที่ 1 U = {x| x เป็นพยัญชนะในภาษาไทย } และ {x| x เป็นพยัญชนะในภาษาไทย 3 ตัวแรก }

จงเขียนเซต A แบบแจกแจงสมาชิก

วิธีทำ U = {ก,ข,ค,...,ฮ}

ดังนั้น A = {ก,ข,ค}

ตัวอย่างที่ 2 U = {1,2,3,…} , B {x| x เป็นจำนวนนับที่น้อยกว่า 5 } จงเขียน B แบบแจกแจงสมาชิก

วิธีทำ U = {1,2,3,…}

ดังนั้น B = {1,2,3,4}

สับเซตและเพาเวอร์เซต

เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B เขียนแทนด้วย AB เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต A ที่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B เขียนแทนด้วย AB เช่น

A = {3,5} และ B = {1,3,5,7,9}

จะได้ว่า A ซับเซตของ B แต่ B ไม่เป็นซับเซตของ A

สมบัติของสับเซต

1. A A และ A

2. ถ้าAB และ BC แล้วAC

3. ACและ BC ก็ต่อเมื่อ A = B

เพาเวอร์เซต

เพาเวอร์เซตของเซต A คือ เซตของสับซตทั้งหมดของ A เขียนแทนด้วย P(A)

เช่น A= {2,4,6}

จะได้ว่า เพาเวอร์เซตของเซต A คือ P(A) = { {2},{4},{6},{2,4},{2,6},{4,6},{2,4,6},เซตว่าง}

สมบัติของเพาเวอร์เซต

1. P(A) และ P(A)

2.A P(A)

3.ถ้า A เป็นเซตจำกัด n(A)= k n(P(A))= 2

4.A B ก็ต่อเมื่อ P(A) P(B)

5.P(A) P(B) = P(A B)

6.P(A) P(B) P(A B

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

เป็นแผนภาพที่ใช้แสดงความเกี่ยวข้องกับเซต เพื่ช่วยในการคำนวณหรือแก้ไขปัญหา มีวิธีการเขียนดังนี้ ให้เอกภพสัมพัทธ์ U แทนด้วยรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซต A,B,C… ซึ่งเป็นสับเซตของ U แทนด้วยวงกลม วงรี หรือรูปปิดอื่นๆ โดยให้เซต A,B,C… อยู่ใน U

ยูเนียน อินเตอร์เซกชัน และคอมพลีเมนต์ของเซต

ยูเนียน (Union) : ยูเนียนของเซต A และเซต B จะได้เซตใหม่ ซึ่งมีสมาชิกของเซต A หรือเซต B หรือทั้งสองเซต “ ยูเนียนของเซตA และเซต B เขียนแทนด้วย A B ”

A B = {x| x A หรือ x เ ป็นสมาชิกของทั้งสองเซต}

เช่น A = {1,3,5} และ B = {3,6,9}

จะได้ A B ={1,3,5,6,9}

อินเตอร์เซกชัน (Intersection): อินเตอร์เซกชันของเซต A และเซต B จะได้เซตใหม่ ซึ่งสมาชิกเป็นสมาชิกของเซตทั้งเซต A และเซต B “ อินเตอร์เซกชันของเซตA และเซต B เขียนแทนด้วย A B ”

A B = {x| x A และ x B}

เช่น A = {1,2,3,4,} , B = {2,4,6} และ C = {0,1}

จะได้ A B = {2,4}

A C = {1}

B C = {}

คอมพลีเมนต์ (Complement) : คอมพลีเมนต์ของเซต A คือ เซต A ที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ U แต่ไม่ใช่สมาชิกของเซต A “คอมพลีเมนต์ของเซต A เขียนแทนด้วย A ”

A = {x| x € U และ x € A }

เช่น U ={0,1,2,3} , A ={0,2,4} และ B = {1,3}

จะได้ A = {1,3}

B = {0,2}

ผลต่างระหว่างเซต (Difference of Sets ) : ผลต่างระหว่างเซต A และเซต B คือสมาชิกอยู่ในเซต B

“ผลต่างระหว่างเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A – B ”

A-B ={x| x € A และ x € B}

เช่น A = {0,1,2,3,4} และ B = {1,3,5,7,9}

จะได้ A-B = {0,2,4}

B-A = {5,7,9}

จำนวนของสมาชิกของเซตจำกัด

จำนวนของสมาชิกจำกัดของเซต A ใดๆ เขียนแทนด้วย n(A)

การหาจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด ทำได้โดย

- การนับแผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์

- การใช้หลักเกณฑ์ ต่อไปนี้

ถ้าเซต A เซต B และเซต C เป็นเซตจำกัด

- n(A B) = n(A) +n(B) – n(A B)

- n(A B) = n(A) +n(B)+ n(C)-n(A B)-n(A C)-n(B C)+n(A B C)

เรียนรู้เพิ่มเติม เรื่องเซต

ที่มา

https://sites.google.com/site/khnitsastrm4/bth-thi-2-set

http://kanchanapisek.or.th/kp6/New/pictures6/l6-38.jpg

http://www.dektalent.com/board/uploads/6936-tFapIsA2Ps.jpg

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/aa/Empty_set.svg/100px-Empty_set.svg.png

http://www.thaigoodview.com/files/u31556/3333333.jpg

วัน พุธ ที่ 11 เดือนกันยายน พ.ศ. 2556

มุม

มุมเกิดจากรังสีหรือส่วนของเส้นตรงสองเส้นที่มีจุดปลายเป็นจุดเดียวกัน จุดนี้เรียกว่า จุดยอดมุม และรังสีหรือส่วนของเส้นตรงแต่ละเส้นเรียกว่า แขนของมุม

มุมแหลม (acute angle) คือมุมใดๆ ที่มีขนาดเล็กกว่า 90 องศา และมีลักษณะเป็นมุมเล็กๆ แหลมๆ แบบนี้ คือเล็กกว่า 90 องศาค่ะ

มุมฉาก (right angle) คือมุมใดๆ ที่มีขนาดเท่ากับ 90 องศาพอดี ส่วนใหญ่แล้วเราจะใช้รูปสี่เหลี่ยมเล็กๆที่มุม เป็นสัญลักษณ์แทนว่ามุมนี้เป็นมุมฉากค่ะ เส้นตรงสองเส้นที่มาบรรจบกันเป็นมุมฉาก จะตั้งฉาก (perpendicular) กันค่ะ

มุมป้าน (obtuse angle) คือมุมใดๆ ที่มีขนาดใหญ่กว่า 90 องศา แต่เล็กกว่า 180 องศาค่ะ มุมป้านจะมีลักษณะอย่างนี้ค่ะ อย่างที่เห็นในรูป มุมป้านจะใหญ่กว่า 90 องศา แต่ยังไม่ถึง 180 องศา เพราะถ้าเป็น 180 องศาก็จะเป็นเส้นตรงแล้วค่ะ

มุมตรง (straight angle) คือมุมใดๆ ที่มีขนาด 180 องศา ซึ่งก็คือเส้นตรงนั่นเองค่ะ

มุมกลับ (reflex angle) คือมุมใดๆ ที่มีขนาดใหญ่กว่า 180 องศา และจะมีลักษณะอย่างนี้ค่ะ มุมกลับก็จะเป็นมุมที่วาดอยู่ตรงด้านนอกนี้ ซึ่งมีขนาดใหญ่กว่า 180 องศา

มุมประชิด (adjacent angle) คือมุมที่ใช้จุดยอดมุม (vertex) และด้านใดด้านหนึ่งร่วมกัน แต่ไม่ได้ใช้จุดด้านในอื่นร่วมกันอีก ซึ่งจะมีลักษณะคล้ายอย่างนี้ค่ะ คือมีมุมหนึ่งตรงนี้ จุดนี่เป็นจุดยอดมุม และข้างๆก็จะเป็นมุมอีกมุมหนึ่ง มุมสองมุมนี้เป็นมุมประชิดกันค่ะ เพราะมีจุดยอดมุมเดียวกัน และยังใช้ด้านร่วมกันหนึ่งด้าน ซึ่งก็คือเส้นตรงกลางนี่ และไม่ได้ใช้จุดอื่นใดร่วมกันอีก

มุมตรงข้าม (vertical angle) คือมุมที่เกิดขึ้นจากการตัดกันของเส้นตรงสองเส้น อย่างที่เห็นในรูป มุมนี้กับมุมนี้ที่มีสัญลักษณ์ขีดเดียว เป็นมุมตรงข้ามกัน ส่วนมุมที่มีขีดสองเส้นอีกคู่ก็จะเป็นมุมตรงข้ามของกันและกันค่ะ โดยที่มุมที่เป็นมุมตรงข้ามกันจะมีขนาดเท่ากันเสมอ (congruent)

มุมประกอบสองมุมฉาก (supplementary angle) คือมุมสองมุมที่มีขนาดบวกกันได้ 180 องศาพอดี เช่น มุมขนาด 150 องศากับมุมขนาด 30 องศา เป็นมุมประกอบสองมุมฉากกันค่ะ เพราะเมื่อบวกกันแล้วมันจะได้เป็น 180 องศา

มุมประกอบมุมฉาก (complementary angle) คือมุมสองมุมที่มีขนาดบวกกันได้เท่ากับ 90 องศาพอดี เช่น มุม 30 องศากับมุม 60 องศาเป็นมุมประกอบมุมฉากกันค่ะ เพราะเมื่อบวกกันแล้วจะได้เป็นมุม 90 องศา

เครื่องมือวัดขนาดของมุม