เซต

เซต

เซต  เป็นคำที่ใช้บ่งบอกถึงกลุ่มของสิ่งต่างๆ และเมื่อกล่าวถึงกลุ่มใดแน่นอนว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่ม สิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่ม เช่น

 เซตสระในภาษาอังกฤษ  หมายถึง  กลุ่มของอังกฤษ  a, e, i, o และ u

 เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 10 หมายถึง  กลุ่มตัวเลข 1,2,3,4,5,6,7,8,และ9

 สิ่งที่อยู่ในเซตเรียกว่า  สมาชิก  ( element หรือ members )

การเขียนเซต

การเขียนเซตอาจเขียนได้ 2  แบบ

1. การเขียนซตแบบแจกแจงสมาชิก  เขียนสมาชิกทุกตัวลงในเครื่องหมายวงเล็บปีก กา { }  และใช้เครื่องหมายจุลภาค ( , ) คั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัว  เช่น

 เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า  7  เขียนแทนด้วย  {1,2,3,4,5,6,}

เซตของพยัญชนะไทย  5  ตัวแรก  เขียนแทนด้วย  { ก,ข,ฃ,ค,ฅ }

2.เขียนแบบบอกเงื่อนไข  ใช้ตัวแปรเขียนแทนสมาชิกของเซต  แล้วบรรยายสมบัติของสมาชิกที่อยู่รูปของตัวแปร  เช่น

 {x| x เป็นสระในภาษาอังกฤษ } อ่านว่า เซตของ x โดยที่ x เป็นสระในภาษาอังกฤษ

{x| x  เป็นเดือนแรกและเดือนสุดท้ายของปี } อ่านว่า เซตของ xโดยที่ x เป็นเดือนแรกและเดือนสุดท้ายของปี  เครื่องหมาย “ | ”  แทนคำว่า  โดยที่

 ในการเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกนั้นจะใช้จุด ( ... )  เพื่อแสดงว่ามีสมาชิกอื่นๆ ซึ่งเป็นที่เข้าใจกันทั่วไปว่ามีอะไรบ้างที่อยู่ในเซต  เช่น

{ 1,2,3,...,10 }  สัญลักษณ์ ... แสดงว่ามี 4,5,6,7,8 และ9 เป็นสมาชิกของเซต

 { วันจันทร์, อังคาร, พุธ,..., อาทิตย์ } สัญลักษณ์ ... แสดงว่ามีวันพฤหัสบดี  วันศุกร์  และวันเสาร์  เป็นสมาชิกของเซต

สัญลักษณ์แทน

ในการเขียนเซตโดยที่ทั่วไปจะแทนเซตด้วยอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่  เช่น A,B,C และแทนสมาชิกของเซตด้วยตัวพิมพ์เล็ก เช่น a,b,c

เช่น A = {1,4,9,16,25,36}  หมายถึง A เป็นเซตของกำลังสองของจำนวนนับหกจำนวนแรก }

สมาชิกของเซต

จะใช้สัญลักษณ์ “  € ”  แทนคำว่าเป็นสมาชิกหรืออยู่ใน  เช่น

A = {1,2,3,4}

จะได้ว่า  1   เป็นสมาชิกของ  A หรืออยู่ใน A เขียนแทนด้วย  1  €A

3   เป็นสมาชิกของ  A  หรืออยู่ใน A เขียนแทนด้วย  3€ A

คำว่า “ไม่เป็นสมาชิก” หรือ “ไม่อยู่ใน”  เขียนด้วยสัญลักษณ์  “ € ”  เช่น

 5  ไม่เป็นสมาชิกของ A หรือไม่อยู่ใน A เขียนแทน 5€A

 7 ไม่เป็นสมชิกชอง A หรือไม่อยู่ใน A เขียนแทนด้วย  7€A

สำหรับเซต A ซึ่งมีสมาชิก 4 ตัว เราจะใช้ n(A) เพื่อบอกจำนวนสมาชิกของเซต A นั่นคือ n(A) = 4

ตัวอย่างที่ 1   จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก

1.เซตของจังหวัดในประเทศไทยที่ลงท้ายด้วยบุรี

2.เซตของจำนวนเมลบ

3.เซตของพยัญชนะในภาษาไทย

วิธีทำ   1.ให้  A เป็นเซตของจังหวัดในประเทศไทยที่ลงท้ายด้วยบุรี

  A = {  สุพรรณบุรี, ปราจีนบุรี, สิงห์บุรี,..., ลพบุรี }

2. ให้ B เป็นเซตของจำนวนต็มลบ

B = {-1,-2,-3,…}

3. ให้C เป็นเซตของพยัญชนะในภาษาไทย

C = {ก,ข,ค,…,ฮ}

ตัวอย่างที่ 2   จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบบอกเงื่อนไข

1. A = {2,4,6,8,10}

2. B = {1,3,5,7}

วิธีทำ            1.A = {x| x เป็นจำนวนคู่บวกที่น้อยกว่า 12 }

                     2.B = {x| x เป็นจำนวนคี่บวกที่น้อยกว่า 9 }

เซตว่าง

คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก สัญลักษณ์ที่ใช้ในเซตว่าง คือ {} หรือ( อ่านว่าไฟ (phi))

ตัวอย่างของเซตว่างได้แก่

         A = { x| x เป็นจังหวัดในประเทศไทยที่ขึ้นต้นด้วย “ข”}

เซตจำกัด

คือ เซตซึ่งมีจำนวนสมาชิกต็มบวกหรือศูนย์

ตัวอย่างเซตจำกัด ได้แก่

A = {0,2,4,…,10} , n(A) = 11

B = {x| x เป็นพยัญชนะในคำว่า “เซตว่าง” }, n( A ) =  4

C = {1,2,…,8}

เซตอนันต์

คือ เซตที่มีจำนวนมากมาย  นับไม่ถ้วน

ตัวอย่างเซตอนันต์ ได้แก่

A = {x| x เป็นจำนวนเฉพาะที่มากกว่า 5 }

B = {x| x 3,7,11,15,…}

C = {1,2,3,…}

ข้อตกลงเกี่ยวกับเซต

1. เซตว่างเป็นเซตจำกัด

2. การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกเขียนสมาชิกแต่ละตัวเพียงครั้งเดียวเท่านั้น

เช่น เซตของเลขโดดที่อยู่ในจำนวน 232 คือ {2,3}

3. เซตของจำนวนที่มักจะกล่าวถึงเสมอและใช้กันทั่วไป  มีดังนี้

I เป็นเซตของจำนวนเต็ม หรือ I = {…,-2,-1,0,1,2,...

I เป็นเซตของจำนวนต็มบวก หรือ I = {1,2,3,…}

I เป็นเซตของจำนวนต็มลบ หรือ I = {-1,-2,-3,…}

N เป็นเซตของจำนวนนับ หรือ N = {1, 2, 3,…}

P เป็นเชตของจำนวนเฉพาะ หรื P = { 2, 3 , 5 , 7,…}

เซตที่เท่ากัน

            เซต A = B หมายถึง สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิก ของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A เท่ากับเซต B เขียนแทนด้วย A = B

และเซตA ไม่เท่ากับเซต B หมายความว่า มีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต A ที่ไม่ใช้สมาชิกของเซต B หรือมีสมาชิกอย่างน้อยของเซต B ที่ไม่ใช่สมาชิกของเซต A เขียนแทนด้วย AB

ตัวอย่างที่  1    A = {0,1,2 } และ  B = {2,0,1}

ดั้งนั้น เซต A เท่ากันกับเซต B เขียนแทนด้วย  A = B

ตัวอย่างที่  2   กำหนด A= {1,1,2,4,5,6} , B ={2,1,2,4,5,6}, C = {1,2,4,5,5,6,7,8}

จงหาว่ามีเซตใดบ้างที่เท่ากัน

 วิธีทำ      A = {1,1,2,4,5,6}, B ={2,1,2,4,5,6}

จะได้  A=B เพราะมีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว

แต่ AC , BC เพราะว่า7 €A และ 7 € B

เอกภพสัมพัทธ์

            ในการเขียนเซตบอกเงื่อนไขของสมาชิก  จะต้องกำหนดเซตของ  เอกภพสัมพัทธ์  เขียนแทนด้วย U โดยมีข้อตกลงว่า  เมื่อกล่าวถึงสมาชิกของเซต จะไม่กล่าวถึงสิ่งอื่นนอกเหนือจากสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์

ตัวอย่างที่ 1 U = {x| x เป็นพยัญชนะในภาษาไทย } และ {x| x เป็นพยัญชนะในภาษาไทย 3 ตัวแรก }

จงเขียนเซต A  แบบแจกแจงสมาชิก

วิธีทำ           U = {ก,ข,ค,...,ฮ}

ดังนั้น   A = {ก,ข,ค}

ตัวอย่างที่ 2  U = {1,2,3,…} , B {x| x เป็นจำนวนนับที่น้อยกว่า 5 } จงเขียน B แบบแจกแจงสมาชิก

วิธีทำ         U = {1,2,3,…}

ดังนั้น       B = {1,2,3,4}  

สับเซตและเพาเวอร์เซต

            เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ  สมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B เขียนแทนด้วย AB เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต A ที่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B เขียนแทนด้วย AB เช่น

A = {3,5} และ B = {1,3,5,7,9}

จะได้ว่า  A ซับเซตของ B แต่ B ไม่เป็นซับเซตของ A

สมบัติของสับเซต

1.            A  A และ   A

2.            ถ้าAB และ BC แล้วAC

3.            ACและ BC ก็ต่อเมื่อ A = B

เพาเวอร์เซต

เพาเวอร์เซตของเซต A คือ เซตของสับซตทั้งหมดของ A เขียนแทนด้วย P(A)

เช่น A= {2,4,6}

จะได้ว่า เพาเวอร์เซตของเซต A คือ P(A) = { {2},{4},{6},{2,4},{2,6},{4,6},{2,4,6},เซตว่าง}

สมบัติของเพาเวอร์เซต

1.  P(A) และ   P(A)

2.A   P(A) 

3.ถ้า A เป็นเซตจำกัด n(A)= k  n(P(A))= 2

4.A   B ก็ต่อเมื่อ P(A)      P(B)

5.P(A)   P(B) = P(A   B)

6.P(A)   P(B)    P(A   B

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

เป็นแผนภาพที่ใช้แสดงความเกี่ยวข้องกับเซต  เพื่ช่วยในการคำนวณหรือแก้ไขปัญหา  มีวิธีการเขียนดังนี้   ให้เอกภพสัมพัทธ์   U  แทนด้วยรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า   เซต A,B,C… ซึ่งเป็นสับเซตของ U  แทนด้วยวงกลม  วงรี หรือรูปปิดอื่นๆ  โดยให้เซต A,B,C… อยู่ใน U

ยูเนียน อินเตอร์เซกชัน และคอมพลีเมนต์ของเซต

ยูเนียน (Union) : ยูเนียนของเซต A และเซต B จะได้เซตใหม่ ซึ่งมีสมาชิกของเซต A หรือเซต B  หรือทั้งสองเซต  “ ยูเนียนของเซตA และเซต B เขียนแทนด้วย A   B ”

A   B = {x| x   A หรือ x เ ป็นสมาชิกของทั้งสองเซต}

 เช่น A = {1,3,5} และ B = {3,6,9}

จะได้  A    B ={1,3,5,6,9}

อินเตอร์เซกชัน (Intersection): อินเตอร์เซกชันของเซต A และเซต B จะได้เซตใหม่ ซึ่งสมาชิกเป็นสมาชิกของเซตทั้งเซต A และเซต B   “ อินเตอร์เซกชันของเซตA และเซต B เขียนแทนด้วย A    B ”

A    B = {x| x   A และ x   B}

 เช่น A = {1,2,3,4,} , B = {2,4,6} และ C = {0,1}

จะได้     A   B = {2,4}

A   C = {1}

B   C = {}   

คอมพลีเมนต์ (Complement) : คอมพลีเมนต์ของเซต A คือ เซต A ที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ U แต่ไม่ใช่สมาชิกของเซต A  “คอมพลีเมนต์ของเซต A เขียนแทนด้วย A ”

A = {x| x €  U และ x  €  A }

เช่น  U ={0,1,2,3} , A ={0,2,4} และ B = {1,3}

จะได้  A = {1,3}

B = {0,2}

ผลต่างระหว่างเซต  (Difference of Sets ) : ผลต่างระหว่างเซต A และเซต B คือสมาชิกอยู่ในเซต B

 “ผลต่างระหว่างเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A – B ”

A-B ={x| x €  A และ x €   B}

เช่น A = {0,1,2,3,4} และ B = {1,3,5,7,9}

จะได้  A-B = {0,2,4}

B-A = {5,7,9}

จำนวนของสมาชิกของเซตจำกัด

จำนวนของสมาชิกจำกัดของเซต  A  ใดๆ เขียนแทนด้วย n(A)

การหาจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด  ทำได้โดย

-  การนับแผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์

-   การใช้หลักเกณฑ์ ต่อไปนี้

ถ้าเซต A เซต B และเซต C เป็นเซตจำกัด

      -   n(A   B) = n(A) +n(B) – n(A   B)

      -   n(A   B) = n(A) +n(B)+ n(C)-n(A  B)-n(A  C)-n(B  C)+n(A   B   C)

                                             เรียนรู้เพิ่มเติม เรื่องเซต

ที่มา

https://sites.google.com/site/khnitsastrm4/bth-thi-2-set

http://kanchanapisek.or.th/kp6/New/pictures6/l6-38.jpg

http://www.dektalent.com/board/uploads/6936-tFapIsA2Ps.jpg

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/aa/Empty_set.svg/100px-Empty_set.svg.png

http://www.thaigoodview.com/files/u31556/3333333.jpg

วัน พุธ ที่ 11 เดือนกันยายน พ.ศ. 2556